This question should be posed to the AMIA list, which I no longer subscribe to--anyone else have access?

Discussions on Spanish film buff forums online indicated that this film is considered lost. I contacted the Filmoteca Española (the Spanish Cinemathèque), who unfortunately were able to confirm this.

That said, if there are other Spanish films from this period of interest to you, the Filmoteca may be able to help you to track them down. They do, it seems, respond to e-mail (though I wrote to them in Spanish).

Browsing the Europeana cultural heritage site is also a good way to locate different archival film collections--and the institutions that hold them--in Europe.

If you speak Spanish, here is the complete message I received from the guy at the Filmoteca Española:

Estimado Sr.:

En efecto, en la Filmoteca Española no conservamos la película Canciones de Madrid (1938), film que se considera perdido y del que no hay constancia de la existencia de ningún material.

En el archivo adjunto, le envío su ficha técnico-artística, extraída del Catálogo General del cine de la Guerra Civil, edición a cargo de Alfonso del Amo y publicado por Cátedra y la Filmoteca Española en 1996.

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While perhaps not so useful to you, the information he attached is as follows:

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CANCIONES DE MADRID
Título relacionado: CANTANDO EN LAS TRINCHERAS
1938 España
Productora: (Estado Mayor/Comisariado del Ejército del Centro) (Alianza de Intelectuales Antifascistas)
Director: Juan Manuel Plaza
Distribución: Film Popular
Intérprete: Paul Robeson
Idioma original: (Castellano, inglés)
Duración: (10 minutos)
Sinopsis
El gran cantante y actor negro norteamericano Paul Robeson, miembro del Partido Comunista, estuvo unos días con las Brigadas Internacionales en los frentes de Madrid y de Teruel durante las navidades de 1937. En una de esas visitas cantó varias canciones revolucionarias, así como espirituales negras, recogido todo con sonido directo en este filme, que carece de cualquier valor que no sea el testimonial, pero que tuvo considerable éxito de público.
C. Fernández Cuenca

Características originales: Documental, 35mm, standard, ByN, sonora
Tendencia: Republicana
Conservación: No localizado
Observaciones
La información recogida de los libros de Fernández Cuenca y Román Gubern se contradice con la referencia del filme que Juan M. Plaza, una de las figuras determinantes en el cine de propaganda de este periodo, daba en “La Voz del Combatiente”, 16 de febrero de 1938, la plataforma desde la que expuso durante la guerra sus principios propagandísticos. Dice Plaza en un artículo titulado “Canciones de Madrid, de Paul Robeson”, referido al movimiento de liberación de la población negra: “...los negros americanos aman la libertad. Por amarla están con nosotros. Para expresar esta adhesión, nada mejor que la embajada de sus canciones. Paul Robeson, el más valioso representante de la música negra, ha venido a cantar en Madrid. Canciones que han sido recogidas en un filme editado por el Estado Mayor y Comisariado del Ejército del Centro. Este filme se titula “Canciones en Madrid”.
La información de Fernández Cuenca procede posiblemente de la revista “Primer Plano”, nº 38, de 6 de julio de 1941, en la que se dice: “Canciones en las trincheras, corto que fue hecho en la Ciudad Universitaria cuando llegó Paul Robeson, el negro cantaba La internacional” y “La joven guardia” y terminaba con un tremebundo ¡No pasarán!.
R. Álvarez y R. Sala

Fernández Cuenca que considera dos películas distintas “Cantando en las trincheras” y “Canciones de Madrid”, da para esta última los siguientes datos: producción de: Alianza de Intelectuales Anti-Fascistas; 1937; música de Gustavo Pittaluga, sobre canciones populares madrileñas, y ofrece como resumen: “Una selección de canciones populares madrileñas, algunas de corte tradicional y otras de circunstancias, interpretadas en exteriores de Madrid e intercaladas con imágenes de la defensa de la capital.”

We are having some technical issues that are keeping the above comment below from being posted as an "answer." But, unfortunately, the "comment" does answer the question, reporting that the film, like so much of early film history, is considered "lost" by experts in the field. This is an example of the difficulties of preserving new information formats that have been proliferating in the modern technological era. Library and archival practice was slow to catch up with formats such as film, and today struggles to keep up with ever-changing formats of digital information. Even in the earlier print era, technical as well as social/political factors - and a fair amount of random chance - factored in to what was preserved to become the historical record, and what was lost to future scholarship.